高階微分方程式から一階連立系への変換は、視点の根本的な転換を意味します。ある変数の加速度を追うのではなく、 状態空間ベクトル 位置、速度、および高次の導関数を同時に表すベクトルを進化させます。任意の $n$ 階線形方程式は、$n$ 個の一階連立微分方程式に分解でき、行列代数の全威力を活用できるようになります。
1. 階数低下法
$n$ 階のスカラー方程式 $y^{(n)} = F(t, y, y', \dots, y^{(n-1)})$ を変換するため、補助変数を定義します：
$$x_1 = y, x_2 = y', \dots, x_n = y^{(n-1)}$$
この置き換えにより、ベクトル方程式 $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(t, \mathbf{x})$ が得られます。古典的な機械振動子を表す $$mu'' + \gamma u' + ku = F(t)$$ に対して、変換結果は以下の通りです：
- $x_1' = x_2$
- $x_2' = -\frac{k}{m}x_1 - \frac{\gamma}{m}x_2 + \frac{1}{m}F(t)$
例1：ばね-質量系の変換
あるばね-質量系の運動は、二階微分方程式 $u'' + \frac{1}{8}u' + u = 0$ で記述されます。この方程式を一階連立微分方程式系に書き直してください。
$x_1 = u$（位置）および $x_2 = u'$（速度）とおく。したがって、$x_1' = x_2$ となる。
ODEに代入：$x_2' + \frac{1}{8}x_2 + x_1 = 0 \Rightarrow x_2' = -x_1 - \frac{1}{8}x_2$。
$$\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1/8 \end{pmatrix} \mathbf{x}$$
2. 耦合された物理系
階数低下法は単独の方程式に対する数学的便宜ですが、連立方程式は 自然に 複雑な環境において生じます：
- 機械系： 多質点系（図7.1.1など）では、片方の質量の運動がフックの法則によって他方の質量に影響を与える、結合された力が含まれます。
- 連結タンク： タンク間の流体の流れ（図7.1.6）は質量保存則に基づいており、タンク1内の塩分濃度の変化率はタンク2の濃度に依存します。
- 電気回路： 構成関係式 $$V = RI, C \frac{dV}{dt} = I, L \frac{dI}{dt} = V$$ を使って、インダクタ（L）、コンデンサ（C）、抵抗（R）における電圧と電流の同時変化を記述するシステムを構築します。